Как решать логарифмы

как решать логарифмыКак решать логарифмы

Разница между логарифмическим и показательным уравнениями. Если уравнение включает логарифм, то оно называется логарифмическим уравнением (например, logax = y). Логарифм обозначается через log. Если уравнение включает степень и ее показателем является переменная, то оно называется показательным уравнением.

Логарифмическое уравнение: logax = y

Показательное уравнение: ay = x

Терминология. В логарифме log28 = 3 число 2 – это основание логарифма, число 8 – аргумент логарифма, число 3 – значение логарифма.

Разница между десятичными и натуральными логарифмами.

Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием 10 (например, log10x). Логарифм, записанный в виде log x или lg x, – это десятичный логарифм.

Натуральные логарифмы – это логарифмы с основанием «е» (например, logеx). «е» – это математическая константа (число Эйлера), равная пределу (1 + 1/n)n при n стремящимся к бесконечности. «е» примерно равна 2,72. Логарифм, записанный в виде ln x, – это натуральный логарифм.

Другие логарифмы. Логарифмы с основанием 2 называются двоичными (например, log2x). Логарифмы с основанием 16 называются шестнадцатеричными (например, log16x или log#0fx). Логарифмы с основанием 64 настолько сложные, что подпадают под адаптивное управление по геометрической точности (ACG).

как решать логарифмыСвойства логарифмов. Свойства логарифмов применяются при решении логарифмических и показательных уравнений. Они верны только в тех случаях, когда и основание, и аргумент – положительные числа. Кроме того, основание не может быть равным 1 или 0. Свойства логарифмов приведены ниже (с примерами).

loga(xy) = logax + logay

Логарифм произведения двух аргументов «х» и «у» равен сумме логарифма «х» и логарифма «у» (аналогично, сумма логарифмов равна произведению их аргументов).

Пример:
log216 =
log28*2 =
log28 + log22
loga(x/y) = logax — logay
Логарифм частного двух аргументов «х» и «у» равен разности логарифма «х» и логарифма «у».

Пример:
log2(5/3) =
log25 — log23
loga(xr) = r*logax
Показатель «r» аргумента «х» может быть вынесен за знак логарифма.

Пример:
log2(65)
5*log26
loga(1/x) = -logax
Аргумент (1/x) = x-1. И, согласно предыдущему свойству, (-1) можно вынести за знак логарифма.

Пример:
log2(1/3) = -log23
logaa = 1
Если аргумент равен основанию, то такой логарифм равен 1 (то есть «а» в степени 1 равно «а»).

Пример:
log22 = 1
loga1 = 0
Если аргумент равен 1, то такой логарифм всегда равен 0 (то есть «а» в степени 0 равно 1).

Пример:
log31 =0
(logbx/logba) = logax

Это называется заменой основания логарифма. При делении двух логарифмов с одинаковым основанием получается один логарифм, у которого основание равно аргументу делителя, а аргумент равен аргументу делимого. Это легко запомнить так: аргумент нижнего логарифма идет вниз (становится основанием конечного логарифма), а аргумент верхнего логарифма идет вверх (становится аргументом конечного логарифма).

Пример:
log25 = (log 5/log 2)

Попрактикуйтесь в решении уравнений.

4x*log2 = log8 – разделите обе стороны уравнения на log2.
4x = (log8/log2) – воспользуйтесь заменой основания логарифма.
4x = log28 – вычислите значение логарифма.
4x = 3 – разделите обе стороны уравнения на 4.
x = 3/4 – это окончательный ответ.