Как решать уравнения с модулем

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Уравнения с модулем делятся на три вида, каждый вид имеет свой подход к решению:

1. Уравнения вида x=a.\left| x \right|=a.

|x|=a[x=a, при x0x=a, при x<0[x=ax=a.|x|=a⇔[x=a, при x≥0−x=a, при x<0⇔[x=ax=−a.

2. Уравнения вида x=y\left| x \right|=\left| y \right|.

|x|=|y| |x|2=|y|2x2=y2x2y2=0(xy)(x+y)=0[x=yx=y.|x|=|y| ⇔|x|2=|y|2⇔x2=y2⇔x2−y2=0⇔⇔(x−y)(x+y)=0⇔[x=yx=−y.

3. Уравнения вида x=y\left| x \right|=y.

x=y  ⎧⎩⎨⎪⎪y0[x=yx=y\left| x \right|=y\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}y\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=y\\x=-y\end{array} \right.\end{array} \right.

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»?

Решение уравнений с модулем может быть самостоятельной задачей, но часто такие уравнения могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, квадратных.

Вот пример подобной ситуации:

x2=16{{x}^{2}}=16

Видно, что в правой части – квадрат числа 44:

x2=42{{x}^{2}}={{4}^{2}}

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение. Но нет! В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило: x2−−√=x\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

x2=42  x2−−√=42−−√  x=4{{x}^{2}}={{4}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\sqrt{{{x}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| x \right|=4

Чтобы не теряться в таких случаях, давай разберемся, что из себя представляет решение уравнений с модулем , а именно – уравнений вида x=a\left| x \right|=a.

Решение уравнений с модулем вида x=a\left| x \right|=a

Уравнения такого вида решаем, основываясь на свойствах модуля, которые мы разобрали в теме «Модуль» .
Давай разбираться на примерах. Необходимо решить уравнение вида:

x=7\left| x \right|=7

Что такое x\left| x \right|? Это просто xx, если xx больше либо равно нулю, или x-x, если xx меньше нуля. То есть можно формализовано записать так:

|x|=7[x=7, при x0x=7, при x<0[x=7x=7|x|=7⇔[x=7, при x≥0−x=7, при x<0⇔[x=7x=−7

А если вот такое уравнение:

x=7\left| x \right|=-7

Рассуждения аналогичные:

|x|=7[x=7,  при x0x=7,  при x<0⎡⎣⎢⎢⎢{x=7x0 решения нет{x=7x<0  решения нет|x|=−7⇔[x=−7,  при x≥0−x=−7,  при x<0⇔[{x=−7x≥0⇒ решения нет{x=7x<0 ⇒ решения нет

Эти рассуждения можно было и обойти, вспомнив основное свойство модуля: модуль всегда положителен либо равен нулю.

Если обобщить разобранные выше примеры, то можно написать общее правило для решения уравнений вида x=a\left| x \right|=a:

x=a  ⎧⎩⎨⎪⎪a0[x=ax=a.\left| x \right|=a\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.

Попробуем применить это правило для такого уравнения:

x5=3\left| x-5 \right|=3

Выражение под знаком модуля изменилось, но на логике рассуждений это не отражается, поэтому давай решать уравнение, применяя наше правило:

В нашем примере под «xx» подразумевается «x5x-5«, а значение a=3a=3. Зная это, получаем:

x5=3⎧⎩⎨⎪⎪30[x5=3x5=3[x=8x=2\left| x-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x-5=3\\x-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=8\\x=2\end{array} \right.

А если уравнение имеет вид:
3x5=3\left| 3{x}-5 \right|=3

Что-то меняется в рассуждениях? Конечно, нет! Ну, тогда давай решать его!

3x5=3⎧⎩⎨⎪⎪30[3x5=33x5=3[x=83x=23\left| 3{x}-5 \right|=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}3{x}-5=3\\3{x}-5=-3\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\frac{8}{3}\\x=\frac{2}{3}\end{array} \right.

Уловил? Закрепим на примерах:

  1. 7x4=8\left| 7{x}-4 \right|=8
  2. 6+5x=2\left| 6+5{x} \right|=2
  3. 8x=1\left| 8-{x} \right|=1

Решения:

  1. 7x4=8⎧⎩⎨⎪⎪80[7x4=87x4=8[x=127x=47\left| 7{x}-4 \right|=8\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}7{x}-4=8\\7{x}-4=-8\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x}=\frac{12}{7}\\x=-\frac{4}{7}\end{array} \right.
  2. 6+5x=2⎧⎩⎨⎪⎪20[6+5x=26+5x=2[x=45=0,8x=85=1,6\left| 6+5x \right|=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}6+5x=2\\6+5x=-2\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=-\frac{4}{5}=-0,8\\x=-\frac{8}{5}=1,6\end{array} \right.
  3. 8x=1⎧⎩⎨⎪⎪10[8x=18x=1[x=7x=9\left| 8-{x} \right|=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}8-x=1\\8-x=-1\end{array} \right.\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x=7\\x=9\end{array} \right.

Надеюсь, ты уже усвоил тему «Модуль числа»?

Уравнения с модулем могут быть самостоятельной задачей, но часто могут возникнуть при решении уравнений другого типа, например, иррациональных или даже квадратных.

Кстати, ты знаешь, что у нас можной пройти пробный ЕГЭ в онлайне… прямо сейчас и получить результа немедленно. Если тебе это не нужно, читай дальше 🙂

Вот пример подобной ситуации:

(2x1)2=9x2+12x+4{{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}+12x+4.

Мы могли бы раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные и решить обычное квадратное уравнение (например, через дискриминант). Но здесь удобнее поступить по-другому. Заметим, что в правой части уравнения – формула сокращённого умножения квадрат суммы:

9x2+12x+4=(3x+2)29{{x}^{2}}+12x+4={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}

Тогда уравнение станет таким:

(2x1)2=(3x+2)2{{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}

Казалось бы, теперь достаточно просто убрать квадраты слева и справа, и получим линейное уравнение. Но нет! В таких ситуациях нужно быть предельно осторожным: ведь ты же помнишь простое правило: x2−−√=x\sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|?

Вот и появляется на сцене наш модуль:

(2x1)2=(3x+2)2  2x1=3x+2{{\left( 2{x}-1 \right)}^{2}}={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left| 2{x}-1 \right|=\left| 3x+2 \right|.

Чтобы не теряться в таких случаях, научимся решать уравнения с модулем.

Уравнения с модулем.

Уравнения с модулем делятся на три типа.

1. Уравнения вида x=a.\left| x \right|=a.

Большинство уравнений с модулем можно решить, используя одно только определение модуля. Например:

Решите уравнение

x=5\left| x \right|=5

Что такое x\left| x \right|? Это просто xx, если x0x\ge 0, или x-x, если x<0x<0. То есть:

|x|=5[x=5 при x0x=5 при x<0[x=5x=5.|x|=5⇔[x=5 при x≥0−x=5 при x<0⇔[x=5x=−5.

Ответ: 5;5-5;5

Другой пример:

Решите уравнение x=3\left| x \right|=-3.

Аналогично:

|x|=3[x=3 при x0x=3 при x<0⎡⎣⎢⎢⎢{x=3x0 решений нет{x=3x<0 решений нет|x|=−3⇔[x=−3 при x≥0−x=−3 при x<0⇔[{x=−3x≥0⇒ решений нет{x=3x<0⇒ решений нет

И правда, вспомним свойство №1x0\left| x \right|\ge 0, то есть модуль всегда неотрицателен.

Итак, мы выработали общее правило решения простейших уравнений с модулем:

x=a  ⎧⎩⎨⎪⎪a0[x=ax=a.\left| x \right|=a\text{ }\Rightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}a\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x=a\\x=-a.\end{array} \right.\end{array} \right.

Ещё примеры (как обычно, пробуй решить их сам, потом смотри решения):

  1. x2=3\left| {x}-2 \right|=3
  2. 52x=4\left| 5-2x \right|=4
  3. 7=3x+87=\left| 3x+8 \right|