Как складывать корни

В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.

Как складывать корни

Обозначение корней. Выражение под знаком корня (√) означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.

Корень обозначают знаком √.

Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: 3√(27)

Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).

Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5√(2)

Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).

Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.

Квадратным корнем из числа х называется число а, которое в процессе умножения самого на себя может дать число х: a * a = a^2 = x, √x = a. Над квадратными корнями, как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение. Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям. А потом привести корни к их простейшей форме — если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение. Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам.

Как складывать корни

Как складывать корни

Шаг 1

Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь. Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9. Первое число 4 является квадратом числа 2. Второе число 9 является квадратом числа 3. Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.

Шаг 2

Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня. Для примера возьмём выражение √24 + √54. Раскладываем число на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числе 24 мы имеем множитель 4, его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9. Получаем равенство: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6. Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение.

Шаг 3

Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней – это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b). Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе». Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b. Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе: (√a + √b) * (√a — √b) = a – b. Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b, числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b. Возьмём для примера дробь: 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ( (√3 + √5) * (√3 — √5) ) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3).

Шаг 4

Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе. Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5). Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5: 12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Шаг 5

Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней. Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами. Пример: необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.